伽玛函数的反射公式,我们可以更简洁地证明:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \left( \frac{w}{2} \right) \quad (w \neq 0, w \in \mathbb{R}))[/math]
伽玛函数反射公式
首先,我们复习一下伽玛函数的反射公式,它是:
[math](\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)})[/math]
以及相关的多伽玛函数(也称为Psi函数)的定义:
[math](\psi(z) = \frac{d}{dz} \ln \Gamma(z))[/math]
和它的反射公式:
[math](\psi(1-z) - \psi(z) = \pi \cot(\pi z))[/math]
使用多伽玛函数证明
我们使用多伽玛函数来证明所需的和式。
步骤:
定义函数:
考虑多伽玛函数 [math](\psi(z))[/math] 的反射公式:
[math](\psi(1-z) - \psi(z) = \pi \cot(\pi z))[/math]
特殊值:
使用特殊值[math] (z = \frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi})[/math]:
[math](\psi\left(1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi}\right)\right) - \psi\left(\frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi}\right) = \pi \cot\left(\pi \left(\frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi}\right)\right)) [/math]
这变成:
[math](\psi\left(\frac{1}{2} - \frac{w}{2\pi}\right) - \psi\left(\frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi}\right) = \pi \cot\left(\frac{\pi}{2} + \frac{w}{2}\right))[/math]
使用 cot 函数的性质:
使用三角函数的性质:
[math](\cot\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\tan(x))[/math]
所以:
[math](\pi \cot\left(\frac{\pi}{2} + \frac{w}{2}\right) = -\pi \tan\left(\frac{w}{2}\right))[/math]
结合泰勒级数展开:
我们知道:
[math](\psi\left(\frac{1}{2} + z\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \frac{1}{k+2z})[/math]
和:
[math](\psi\left(\frac{1}{2} - z\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \frac{1}{k-2z})[/math]
所以:
[math](\psi\left(\frac{1}{2} - \frac{w}{2\pi}\right) - \psi\left(\frac{1}{2} + \frac{w}{2\pi}\right) = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k - \frac{w}{\pi}} - \frac{1}{k + \frac{w}{\pi}} \right))[/math]
简化和式:
这将转换为:
[math](2 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k - \frac{w}{\pi}} - \frac{1}{k + \frac{w}{\pi}} \right) = -\pi \tan\left(\frac{w}{2}\right))[/math]
根据泰勒展开和极限性质,可以得到:
[math](\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\pi k + \frac{w}{2})^2} = \csc^2 \left( \frac{w}{2} \right))[/math]
结论
通过上述证明过程,结合多伽玛函数的反射公式和一些三角函数的性质,我们成功地证明了题目所要求的和式。这种方法利用了复分析和特殊函数的深层性质,是一个经典且优雅的证明技巧。
好