树的定义是一个连通且无环的图。如果一棵树有 ( n ) 个结点,那么它有 ( n - 1 ) 条边。我们可以根据已给出的结点的度数信息来推导整个树的信息。
首先,列出每个已知结点的度数,并计算未知的叶子结点(度数为1的结点)的数量。
给定的结点度数信息:
两个结点度数为2
一个结点度数为3
三个结点度数为4
用 ( x ) 表示度数为1的结点数。根据握手定理和树的边数性质,我们可以建立以下等式:
[latexpage]
$$
2 \times (n - 1) = 2 \times 2 + 3 \times 1 + 4 \times 3 + 1 \times x
$$
$$
2 \times (n - 1) = 2 \times 2 + 3 \times 1 + 4 \times 3 + 1 \times x
$$
这可以继续推导为:
[
2n - 2 = 4 + 3 + 12 + x
]
[
2n - 2 = 19 + x
]
[
2n - 21 = x
]
为了找出 ( n ) 的值,我们首先计算已知结点的总数:
已知的结点总数 = 2 (度数为2的结点) + 1 (度数为3的结点) + 3 (度数为4的结点) + ( x ) (度数为1的结点) = 6 + ( x )
所以:
[
n = 6 + x
]
将 ( n ) 的表达式放入 ( 2n - 21 = x ) 中,解得:
[
2(6 + x) - 21 = x
]
[
12 + 2x - 21 = x
]
[
2x - x = 21 - 12
]
[
x = 9
]
所以,该树中有9个度为1的结点,即9个叶子结点。这样我们就可以通过给出的指定结点的度数确定整个结点总数和叶子结点的数量。